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Conceito
Antes de tudo, deve-se ter em mente que uma interface lógica é uma "interface" que permite que haja uma comunicação entre dois sistemas. Uma API é um recurso de um sistema que permite que esse se comunique com outro sistema. É possível citar vários exemplos de api's, visto que atualmente a grande maioria dos sistemas "conversam" com outros sistemas. Por exemplo, quando um aplicativo permite que o usuário se autentique nele através do facebook, isso ocorre graças à uma api que permite que o aplicativo solicite as informações necessárias para o sistema do facebook e o facebook as envia, possibilitando o usuário autenticar-se no sistema sem necessariamente se cadastrar nele em si. Outro bom exemplo é quando o usuário está em um site de turismo ou em alguma outra aplicação que disponibiliza mapas. Esses mapas, quase sempre, são fornecidos pelo Google Maps, através de um api entre os sistemas.
Concluindo, API's são padrões feitos pelos programadores dos respectivos softwares para que outros softwares possam utilizar alguns serviços, sem precisar implantar tal funcionalidade no próprio software. É como se um software pedisse uma aplicação "emprestada" para outro software.
Funcionamento
Protocolos
Protocolo é uma convenção que possibilita e governa a comunicação entre dois sistemas. Ele pode ser implementado por hardware, software ou pelos dois.
Alguns Exemplos de protocolos são TCP/IP, DHCP, TCP, entre outros. Porém, o protocolo mais importante quando se fala em API web é o protocolo HTTP(Hypertext Transfer Protocol), pois esse é o fator mais importante para a comunicação de dados na World Wide Web(WWW).
Vantagens
XML e JSON
Exemplos de código
Referências bibliográficas
http://canaltech.com.br/o-que-e/software/o-que-e-api/
http://www.tecmundo.com.br/programacao/1807-o-que-e-api-.htm
https://pt.wikipedia.org/wiki/Interface_de_programa%C3%A7%C3%A3o_de_aplica%C3%A7%C3%B5es
http://www.devmedia.com.br/application-programming-interface-desenvolvendo-apis-de-software/30548
https://en.wikipedia.org/wiki/Application_programming_interface
https://pt.wikipedia.org/wiki/Protocolo_(ci%C3%AAncia_da_computa%C3%A7%C3%A3o)